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考研必备高数基础知识

高等数学是考研数学的重难点,复习要掌握好一些基础知识。那么,考研必备高数基础知识是什么?

第一章函数、极限与连续

1、函数的有界性

2、极限的定义【数列、函数】

3、极限的性质【有界性、保号性】

4、极限的计算【重点】【四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理】

5、函数的连续性

6、间断点的类型

7、渐近线的计算

第二章导数与微分

1、导数与微分的定义【函数可导性、用定义求导数】

2、导数的计算【“三个法则一个表”:四则运算、复合函数、反函数,基本初等函数导数表;“三种类型”:幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数】

3、导数的应用【切线与法线、单调性【重点】与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率【数一、二】】

第三章中值定理

1、闭区间上连续函数的性质【最值定理、介值定理、零点存在定理】

2、三大微分中值定理【重点】【罗尔、拉格朗日、柯西】

3、积分中值定理

4、泰勒中值定理

5、费马引理

第四章一元函数积分学

1、原函数与不定积分的定义

2、不定积分的计算【变量代换、分部积分】

3、定积分的定义【几何意义、微元法思想【数一、二】】

4、定积分性质【奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理】

5、定积分的计算

6、定积分的应用【几何应用:面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积【数一、二】,物理应用:变力做功、形心质心、液体静压力】

7、变限积分【求导】

8、广义积分【收敛性的判断、计算】

第五章空间解析几何【数一】

1、向量的运算【加减、数乘、数量积、向量积】

2、直线与平面的方程及其关系

3、各种曲面方程【旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面】的求法

第六章多元函数微分学

1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义

2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系

3、多元函数偏导数的计算【重点】

4、方向导数与梯度

5、多元函数的极值【无条件极值和条件极值】

6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线

第七章多元函数积分学【除二重积分外,数一】

1、二重积分的计算【对称性【奇偶、轮换】、极坐标、积分次序的选择】

2、三重积分的计算【“先一后二”、“先二后一”、球坐标】

3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性【主要关注不带方向的积分】

4、格林公式【重点】【直接用【不满足条件时的处理:“补线”、“挖洞”】,积分与路径无关,二元函数的全微分】

5、高斯公式【重点】【不满足条件时的处理【类似格林公式】】

6、斯托克斯公式【要求低;何时用:计算第二类曲线积分,曲线不易参数化,常表示为两曲面的交线】

7、场论初步【散度、旋度】

第八章微分方程

1、各类微分方程【可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程【数一、二】、全微分方程【数一】、可降阶的高阶微分方程【数一、二】、高阶线性微分方程、欧拉方程【数一】、差分方程【数三】】的求解

2、线性微分方程解的性质【叠加原理、解的结构】

3、应用【由几何及物理背景列方程】

第九章级数【数一、数三】

1、收敛级数的性质【必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”】

2、正项级数的判别法【比较、比值、根值,p级数与推广的p级数】

3、交错级数的莱布尼兹判别法

4、绝对收敛与条件收敛

5、幂级数的收敛半径与收敛域

6、幂级数的求和与展开

7、傅里叶级数【函数展开成傅里叶级数,狄利克雷定理】

考研高数怎么学

考研数学考三个科目,分别为高等数学、线性代数、概率论与数理统计。但是备考数学的考生们总喜欢从高数开始复习,这是为什么呢?原因有二:其一,高等数学在试卷中所占分值最高,达整张卷面分值的百分之五十六,而且难度也居三科之首。其二,科目之间的先后联系导致先复习高数。

线性代数和概率论与数理统计,尤其是概率论与数理统计是以高数为基础的学科,不学高数难以很明白的学习后继学科,大学数学在课程设置上也是按次顺序进行,可见其科学性。

为了更好的了解考研高等数学这一科目,在复习它之前我们应该了解一下它的知识体系是很有必要的。这样我们可以有一个全局观,能清晰的知道每一章节之间的联系和侧重点,而不是只见树木不见森林。

►高数到底是什么?

高等数学从大的方面分为一元函数微积分和多元函数微积分。

一元微积分中包括极限、导数、不定积分、定积分;多元函数微积分包括多元函数微分学【主要是二元函数】和多元函数积分学。另外还有微分方程和级数,这两章内容可看成是微积分的应用。

除此之外还有向量代数与空间解析几何。其中数一单独考查的内容为向量代数与空间解析几何和多元函数积分学中的三重积分、曲线积分、曲面积分,另外是数一数二数三公共部分,公共部分中也有一些细微差别,下面我们分章去介绍。

一、一元微积分

1.极限

极限是高等数学中非常重要的一章,此概念贯穿整个高等数学始末,导数、定积分、偏导数、多元函数积分、级数等概念都是用极限来定义的。

正是有了极限的概念数学才从有限升华到无限,这也是高等数学与初等数学的分水岭。在考研数学中极限也是每年必考的内容,直接考查的分值高达14-18分。

2.倒数

有了极限的概念,那么导数的概念就有了理论根基,导数是一元函数微分学的灵魂,在考研中这章是重点,每年必考,而且灵活性和综合性较强。这一章可从导数微分概念、计算、应用、中值定理三方面学复习。

3.不定时积分

不定积分本质上是求导的逆运算,本章重点是计算,其重要性怎么描述都不为过。因为积分是决定高数学习成败的一个关键章节,后继章节如定积分、二重积分、三重积分、曲线曲面积分、微分方程中都会用到。

4.定积分

定积分是微积分所说的积分,除了掌握基本概念,还要掌握其计算相关内容及定积分的应用,每年必考。微分方程本质上还是不定积分的计算。二、多元微积分

多元函数的微积分体系上与一元类似,微分学包括基本概念【二重极限、偏导数、可微】、偏导数计算、偏导数应用。

多元函数积分学包括二重积分、三重积分、曲线曲面积分,考试重点在计算,属于每年必考题目。最后一章级数包括三部分常数项级数【主要考查敛散性判别】,幂级数【主要考查展开与求和】、傅里叶级数【数一单独考查】,本章也属必考内容。

►高数该怎么学?

虽然考研数学考查的知识点比较多,但是考查各个学科的内容层次却很清晰,想要在有限的时间内快速的掌握各学科知识,就必须要抓住主干知识,突出考试重点,注重知识点之间的联系和综合,做到有的放矢。

由于高等数学的主干知识是微分学和积分学,所以一元函数微积分和多元函数微积分就是我们考试考查的重点知识,在复习备考的过程中必须对该部分知识点做到熟练自如,了然于胸。

同时极限作为微积分的理论基础,贯穿于整个高等数学知识体系中,因此极限的计算就显得尤为重要了。最后研究生入学考试毕竟是为国家选拔人才而设置的,为了考查大家对知识的综合运用能力,知识点间的联系必须非常清楚,尤其是要掌握微分、积分与微分方程,无穷级数的内在联系,这样才能预测哪些知识可以结合起来来命制大题,做到心中有数。

考研数学怎么自学成功

【一】抓住主干,突破重点,注重综合

虽然考研数学考查的知识点比较多,但是考查各个学科的内容层次却很清晰,想要在有限的时间内快速的掌握各学科知识,就必须要抓住主干知识,突出考试重点,注重知识点之间的联系和综合,做到有的放矢。以高等数学为例,由于高等数学的主干知识是微分学和积分学,所以一元函数微积分和多元函数微积分就是我们考试考查的重点知识,在复习备考的过程中必须对该部分知识点做到熟练自如,了然于胸。

同时极限作为微积分的理论基础,贯穿于整个高等数学知识体系中,因此极限的计算就显得尤为重要了。最后研究生入学考试毕竟是为国家选拔人才而设置的,为了考查大家对知识的综合运用能力,知识点间的联系必须非常清楚,尤其是要掌握微分、积分与微分方程,无穷级数的内在联系,这样才能预测哪些知识可以结合起来来命制大题,做到心中有数。

【二】注重联想记忆,筑起框架体系

由于考试时间紧,复习任务重,知识点零散,很多知识都是会了但过了一段时间又忘了,想要做到长效记忆,就必须注重联想记忆,建立知识框架体系。以线性代数为例,线性代数作为一门全新的学科,知识点分散,概念抽象,性质定理众多,如何快速的掌握所有考试要求的知识,这就需要我们先筑起知识框架,建立知识点间的联系,看到任何一个概念的时候都要多去发散,联想出跟它相关的所有知识点。

比如当我们看到实对称矩阵的时候,我们就要想到实对称矩阵的三条重要性质:①实对称矩阵的特征值为实数,它主要应用于已知一个关于方阵A的矩阵方程去求矩阵A的特征值;②实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,它在考试中应用的非常频繁,基本题目出现实对称矩阵八九不离十就是要利用这条性质;③实对称矩阵必能相似对角化,它主要用来判断一个矩阵是否可以相似对角化的问题。只要这样重复的联想记忆,你就会对所有的知识点形成条件反射,运用起来才会毫无障碍。

【三】突出核心考点,加强题型训练

根据考研数学考试历年命题规律,有些知识点考查的相当频繁,甚至于每年都考,对于这样的知识点我们应该予以重视,作为我们最后冲刺阶段主攻的地方,通过加强该部分知识点大量题型训练,总结对应的解题技巧和方法,从而实现对该知识点的突破。

以概率论与数理统计为例,二维连续型随机变量是历年考试的重点,因此与该知识点相关的所有题型都要掌握,相关题型主要有:①已知联合概率密度求边缘概率密度、条件概率密度,进而求随机变量的数字特征;②已知联合概率密度求二维随机变量落在区域D内的概率;③判断两个随机变量是否独立等,通过对相关题型的大量训练,总结解题套路,我们就能攻克该知识点。

考研数学总体复习计划

基础阶段【现在——2018.6】

基础阶段的主要任务是复习基础知识,掌握基本解题能力。主要工作是把课本上的重要公式、定理、定义概念等熟练掌握,将课本例题和习题研究透彻。复习完基础知识之后要做课后习题,进行知识巩固,确保能够准确、深刻地理解每一个知识点。

【切忌】

1.先做题再看书。

2.做难题。这一阶段不易做难题。难的题目往往会打击考生基础阶段复习的信心,即使答案弄懂了也达不到复习的效果。

【复习建议】

1.以教材中的例题和习题为主,不适宜做综合性较强的题目。做习题时一定要把题目中的考点与对应的基础知识结合起来,达到巩固基础知识的目的,切忌为了做题而做题。

2.在18考研大纲出来之前,不要轻易放弃任何一个知识点。在基础复习阶段放弃的知识点,非常有可能成为后期备考的盲点,到最后往往需要花更多的时间来弥补。

3.准备一个笔记本,用来整理复习当中遇到过的不懂的知识点。弄懂后,写上自己的理解,并且将一些易出错、易混淆的概念、公式、定理内容记录在笔记本上,定期拿出来看一下,避免遗忘出错。

4.对于基本知识、基本定理和基本方法,关键在理解,并且存在理解程度的问题。所以不能仅仅停留在“看懂了”的层次上。对一些易推导的定理,有时间一定要动手推一推;对一些基本问题的描述,特别是微积分中的一些术语的描述,一定要自己动手写一写。这些基本功都很重要,到临场考试时就可以发挥作用了。

PS:复习不下去的时候建议看看数学视频。

【基础阶段复习教材】

数学考试大纲:可先对照17考研大纲复习,一般变动不大。

高数:同济版,讲解比较细致,例题难度适中,涉及内容广泛,是现在高校中采用比较广泛的教材,配套的辅导教材也很多。

线代:同济版,轻薄短小,简明易懂,适合基础不好的学生;清华版,适合基础比较好的学生。

概率论与数理统计:浙大版,基本的题型课后习题都有覆盖。

强化阶段【2018.7——2018.10】

从2018年7月开始要进入强化阶段的复习。强化阶段的主要任务是建立完整的知识体系,提高综合解题能力。

强化阶段的复习是提高考试成绩的关键,但是,如果没有基础阶段的知识储备,强化阶段的复习是很难取得良好效果的。所以小伙伴们一定要注意,数学复习是环环相扣、步步承接的。

【强化阶段复习资料】

以数学复习全书和历年考研数学真题为主。要把考研中的题型归类练习,熟练掌握每一类题型的解题方法。

【一】强化训练第一轮【7月——8月】

以题型与常考知识模块复习为主,通过练习测试巩固所学知识。

【学习方法】

1.使用教材配套的复习指导或习题集,如:李永乐660道题。通过做题巩固知识,遇到不会或似懂非懂的题目不要直接看参考答案,应当先温习教材相关章节,弄懂基本知识。

2.按要求完成练习测试后,要留有一些时间对教材的内容进行梳理,对重点、难点做好笔记,以便之后的复习。对于典型性、灵活性、启发性和综合性的题目要特别注重理解思路和技巧的培养。

3.试题虽千变万化,知识结构却基本相同,题型也相对固定。归纳题型与常考知识模块以便提高解题的针对性,进而提高解题速度和准确性。

【二】强化训练第二轮【9月初——10月中旬】

通过综合基础题及考研真题来查漏补缺,训练解题速度。

【需要做到】

1.加大对综合题和应用题解题能力的训练,力求在解题思路上有所突破。在综合题的解答中,迅速找到解题的切入点是关键,为此需要熟悉规范的解题思路,以便能够对做过的题目进行归纳分类、延伸拓展。

2.在复习备考时对所学知识进行重组,搞清有关知识的纵向和横向联系,转化为自己掌握的东西。应用题的解题步骤是认真理解题意,建立相关数学模型,如微分方程、函数关系、条件极值等,将其转化为某个数学问题求解。

【注】基础阶段与强化阶段的终极目标是对考研数学内容建立一个知识网,熟练掌握考研各常见考试题型与解题方法。

冲刺阶段【2018.11——12】

强化阶段完成后,实际上考研数学的复习已经基本完成。这个时候大家应该已经熟悉考研数学中的每一类题型以及对应的解题方法,而且已经具备较强的计算能力。所以从11月份开始,每周要做真题、模拟题培养考试状态,进入冲刺阶段的复习。

【冲刺阶段复习资料】这一阶段的主要任务是查漏补缺,培养考试状态。所以,建议的复习资料是基础阶段和强化阶段总结的复习笔记,历年真题与模拟题。

【注意事项】冲刺阶段需要通过真题和模拟题的训练体验实战感觉,找到做题技巧并摸索出题特点,以便更利于临场发挥。这一阶段要做到:

1.要记忆,不要脱离教材。对考研数学必需掌握的基本概念、公式、定理进行记忆,尤其是平时记忆模糊的公式,都需要重新回到教材找出原型来记忆。

2.要总结、思考。这一阶段不能搞题海战术,需要对上一轮复习中做过的历年真题和模拟题进行总结【包括理清基本的解题思路,对遗忘的知识点查漏补缺】

3.要练习考研数学的套题。坚持练套题到最后,手不能生。最后阶段一定要做高质量的模拟题,尽量少做难题、偏题、怪题。

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